上の写真のパーツを交換しました（ノブは交換せず）
ピックアップは3個ともそのまま使いまわし。シングルコイルはカバーのみ交換。
使いまわしなんでピックアップの位相確認の必要もないでしょう。

※　コイルタップ機能付きのトーンボリュームポットはテスターを使い最初に付いていたのと動きを合わせる必要があります。

※　ボリュームポットもトーンボリュームポットもAカーブ500Ωを使用
　　ボリュームはAカーブで間違いないですが、トーンは好みがあるかも？

AカーブBカーブについてはサウンドハウスのサイトに詳しく載ってます。
サウンドハウス

配線図面は「YAMAHA SESSION 512」 配線図に掲載しています。
配線図

導電塗料を塗り直す場合は　こういうのを購入すると良いと思います。↓
水性導電塗料
パーツの購入は（ネット通販もあり）↓
千石電商
千石電商は電子パーツの店ですがエレキギターのパーツも
多く扱っていて見ていて楽しいです♪
収縮チューブもここで購入。

この配線用ケーブルはAmazonで購入

ケーブルの被覆を剥くのはワイヤーストリッパーがあると綺麗に出来ます
1500円程度で購入出来ます。